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制度反思——制度分析文集

 

 

 

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让普通人看得懂“基尼系数”(1)

——我国两极分化的形势严峻

尚  勇


写作时间:2010年12月8日    浏览次数:5814


如果你对推导过程不感兴趣,可以直接看“本节结论”——请点击“这里”

1、  普通人看不懂基尼系

1907年,美国统计学家M·O·洛伦兹于提出了著名的洛伦兹曲线,用以测度国民收入在国民之间的分配情况。

在“图1”中,横轴OH表示人口(按收入由低到高分组)的百分比,纵轴OM表示收入(或财富)的百分比,且OH=OM。对角线OL与横轴成45°角,被称为“绝对平等线”,因为落在该直线上的每一点,横坐标与纵坐标相等,即相同比例的人口获得相同比例的收入,一国收入绝对平等的分配。当然,这只是一种理论假设,现实中并不存在这种情况。弧线OL为洛伦兹曲线,落在该直线上的每一点,横坐标与纵坐标都不相等,即人口比例与收入比例不相等。收入越是不平等,弧线OL就越向右下方凸起。

1922年,意大利经济学家C·基尼提出利用洛伦兹曲线“向右下方凸起”的特征定量测度收入分配的差异程度,后人将其定量测度的系数称为“基尼系数”。该系数将直线OL与弧线OL围成的区域面积设为A,将ΔOLH除区域A以外的区域面积设为B,则,基尼系数=A∕(A+B)。

由图1可见,收入分配越是不平等,洛伦兹曲线越是向右下方凸起,区域A的面积就越大,因而基尼系数也越大。一般认为,基尼系数在0.1~0.2之间,分配过于平均;0.25~0.3之间,轻度不平等;0.4为收入分配不平等的“国际警戒线”;0.4以上为高度不平等;如果超过0.6,则面临社会大动荡的高风险。

在基尼系数的应用层面上存在两方面的问题。一方面,在技术上,基尼系数难以精确计算。这是因为,人们虽然可以根据收入分配的统计数据去描绘洛伦茨曲线(即描点作图),但要根据描绘的洛伦茨曲线求出区域A的面积决非易事。至今仍然没有找到一种有效方法,能够准确拟合洛伦兹曲线方程,并通过此方程精确求出基尼系数。

另一方面,普通人从专家或机构计算的基尼系数,也看不出收入分配的不平等具体达到了什么样的程度。比如,可能会导致社会大动荡的“基尼系数>0.6”意味着什么样的收入分配格局,一般人并不知晓。

2  普通人需要两个“拐杖”

笔者试图通过两种简单的方法,帮助普通人理解不同基尼系数所表达的收入分配格局。

先来看看“图2”所描述的几条粗略的洛伦茨曲线的比较,以建立初步印象。图中各曲线是将人口按20%分组(共5组),并求出各自的收入比重后绘制的洛伦茨曲线,该曲线没有作平滑处理(即没有准确拟合洛伦兹曲线方程),显得很粗略。各曲线经过平滑处理后所对应的比较精确的基尼系数的数值已标在图中。

1)基尼系数=0.57的洛伦茨基准曲线

为了让普通人(即社会公众)能够比较直观地从基尼系数了解到收入(或财富)分配的情况,笔者将推演出一条精确的洛伦茨曲线,作为观察收入(或财富)分配状况的基准曲线。

为了让普通人(即社会公众)能够比较直观地从基尼系数了解到收入(或财富)分配的情况,笔者将推演出一条精确的洛伦茨曲线,作为观察收入(或财富)分配状况的基准曲线。

为此,笔者假定:(1)洛伦茨曲线相对于绝对平等线成“正态”分布。(2)总人口的分组数远远大于100。

设:在直角坐标系中,OH=OM=1,以M(0,1)为圆心,半径R=OM=ML,作圆弧OL。圆弧OL就是一条精确的洛伦茨曲线,可以作为观察收入(或财富)分配状况的“洛伦茨基准曲线”,参见“图3”。

洛伦茨基准曲线的基尼系数=0.57,其数学论证如下:

根据假设,通过简单数学推导,很容易计算出区域A的面积[1]

而,(即ΔOLH的面积);

则,

根据前面假设,容易知道,洛伦茨基准曲线方程为,以M(0,1)为圆心、半径R=1的圆的方程,即

                  (公式1)

通常,在基尼系数计算精度要求不高时,人们首先将人口平均分成5组(每组20%),通过统计手段得到每组的收入(或财富)比重,再累计计算1~5组与人口比重对应的财富比重,然后将累计结果(5个点)画在图中,便得到了一条近似的洛伦兹曲线(如图2),最后通过某种方法拟合洛伦兹曲线方程(即为近似的洛伦兹曲线找到相对应的曲线方程),并求出基尼系数。

现在,我们有“基尼系数=0.57”的精确的洛伦兹曲线方程,可以精确地求得1~5组与人口比重所对应的财富比重。“表1”是其计算结果。

“图4”将“表1”的计算结果标在“洛伦茨基准曲线”上。从“图4”可以清楚看到“基尼系数=0.57”所表示的收入(或财富)分配情况。其中,“D1”点表示,最穷的20%的人口仅仅占有2%的社会财富。“D4”点表示,全社会80%的人口仅占有40%的财富;同时,它也表示最富有的20%的人口(横轴右边最后一段),占有社会财富的60%(纵轴40%以上部分)。

2)利用分组数据求基尼系数近似值

如果有一组收入(或财富)分组数据,可以利用下面的公式计算基尼系数的近似值。

山西农业大学经贸学院的张建华为计算基尼系数近似值提供了如下简易公式:

(公式2)

 式中,G表示基尼系数,n表示人口分组数,Wi表示各组累计计算的与人口比重对应的财富比重。[2]

笔者检验“公式2”以后发现,由于“公式2”将区域B视为若干梯形面积之和(如以直线HL为下底、直线80D4为上底),而梯形又“侵入”了区域A(如直线LD4就“侵入”了弧线LD4),所以区域A的面积被计算小了,相应地,“公式2”计算的基尼系数也偏小。

笔者借助《国际统计年鉴(2009)》提供的各国基尼系数数据计算后发现,对于“5组分组数据”来说(如表1),“公式2”的修正系数为1.08,修正后的误差值小于0.01,相对误差小于2%。

修正后的基尼系数近似值简易公式为(式中字母的意义与“公式2”相同):

式中n=5      (公式3)

利用“表1”数据验证“公式3”如下:

由“公式3”计算的基尼系数近似值0.562与它的精确值0.57相差0.008,相对误差1.4%。

(本节结论)

至此,我们得到了方便公众理解基尼系数所表达的收入(或财富)分配格局的两个工具。一个是计算基尼系数近似值的“公式3”;另一个是基尼系数=0.57的洛伦茨基准曲线。

如果手中有收入(或财富)分配状况的5个以上“分组数据”(如表1),可以利用“公式3”,求出基尼系数的近似值。如果只有1、2个分组数据,则可以利用洛伦茨基准曲线大致估计基尼系数的范围。

(请记住,基尼系数0.4为收入分配不平等的“国际警戒线”;如果超过0.6,则面临社会大动荡的高风险。)

(接下页)

 

[1] 圆半径R=1,其圆面积等于π,扇形MLO的面积等于π∕4,三角形MLO的面积等于1∕2。区域A的面积等于扇形MLO的面积减去三角形MLO的面积。

[2] 张建华:《一种简便易用的基尼系数计算方法》,《山西农业大学学报社会科学版》,2007年第3期。

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